第三题:
【对于实数T>0,称欧氏平面R^2的子集Γ为T-稠密的,如果对任意v∈R^2,存在w∈Γ满足||v-w||≤T,设2阶整方阵A∈M2满足det(A)≠0.
(1)假设tr(A)=0,证明存在C>0,使得对任意正整数n,集合A^nZ^2:={A^nv:v∈Z^2}
(2)假设A的特征多项式在有理数域上不可约,证明与(1)相同的结论。】
“果然!”
看完题目,陈辉心中大定,终于不会认为自己考了个假的竞赛了。
如果说前面两道题是送分题,让参赛的选手不至于拿了0分回去,那么第三题就有点意思了。
这是一道线性代数高等代数相关的问题。
这道题本质上是在问,当某一个线性映射A反复作用于整点的这些点的时候,这些整点构成的网格会不断的变化,求问平面上的点到网格当中某一个点的最近的距离,大概会以什么样的量级变化。
题目要求证明的,就是当你反复迭代了n次,这个量级大概是A的行列式的2的n次方。
毫无疑问,这道题是有难度的。
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