【求与数列an=2^n+3^n+6^n-1,n=1,2,3……每一项都互素的所有正整数】
“用费马小定理把原式变换一下就可以了。”
陈辉也懒得麻烦,抬手在草稿纸上书写解答过程,想要尽快将对方打发。
当n=1和2时,可以算出an=10和48,当n>3时,根据费马小定理,有,
2^(n-1)≡1(modn)
3^(n-1)≡1(modn)
6^(n-1)≡1(modn)
2,3,6的最小公倍数是6,所以在对上面三项分别乘以3,2,1,则有6*2^(n-2)+6*3^(n-2)+6*6^(n-2)≡6(modn),所以有2^(n-2)+3^(n-2)+6^(n-2)-1≡0(modn)。
也就是说,对于an这个数列,当n>3时,总存在一个整数p能够整除an。
又因a1和a2能被2,3整除,所以与an每一项都互素的正整数只能为1,证毕。
内容未完,下一页继续阅读